Per illustrare agli studenti alcuni paradossi dell'infinito, il grande matematico tedesco David Hilbert immaginò un albergo con infinite stanze tutte occupate, che tuttavia era in grado di ospitare nuovi clienti, anche in quantità infinita. Infatti, fin dall'antichità, gli studiosi avevano riconosciuto che l'infinito non soddisfa l'evidente principio "Il tutto è maggiore della parte". Pertanto, seguendo Aristotele, si erano rifiutati di considerare l'infinito "in atto", limitandosi ad accettare l'infinito "in potenza", ossia il crescere oltre ogni limite. In questo volume vengono esposte le argomentazioni di Hilbert e alcuni suoi sviluppi che hanno condotto i matematici a riconoscere l'esistenza di diverse gradazioni di infinito "in atto". Ampio spazio è dedicato agli insiemi numerabili e a quelli continui, con particolare riferimento ai principali sistemi numerici e alle figure geometriche. Infine, sono richiamate le nozioni insiemistiche che vengono impiegate per costruire la gerarchia dei numeri cardinali transfiniti, la quale, parafrasando Hilbert, costituisce il paradiso che Cantor ha creato per noi e dal quale nessuno ci potrà mai scacciare.