Depuis Euclide, on définit une démonstration comme un raisonnement, construit à l'aide d'axiomes et de règles de déduction. La révolution qui a consisté, depuis les années 1970, à remettre en cause la prééminence du raisonnement sur le calcul, nous a amené à repenser la notion même de démonstration. Elle renouvelle le dialogue des mathématiques avec les sciences de la Nature, comme la physique ou la biologie, et en particulier la vieille question de la déraisonnable efficacité des mathématiques dans ces sciences. Elle nous laisse enfin entrevoir de nouvelles manières de résoudre des problèmes mathématiques, s'affranchissant de certaines limites arbitraires que la technologie du passé a imposé à la taille des démonstrations : les mathématiques sont peut-être en train de partir à la conquête d'espaces jusqu'alors inaccessibles.